Potenza in corrente alternata

Dalla potenza Istantanea alla potenza Attiva

Se rappresentiamo un bipolo lineare con un impedenza Z e lo facciamo percorrere da una flusso sinusoidale i(t) di frequenza f e ampiezza I_M
i(t) = I_M sin (2πf t)
codesto determinerà sul bipolo una tensione v(t) sempre di frequenza f pari a
v(t) = V_M sin (2πf t + φ)
passando ai fasori risulta che
V = ZI
la fase di V sarà la somma delle fasi di Z e di I
Figura 1.

concentriamoci sulla potenza istantanea giorno dal mi sembra che il prodotto originale attragga sempre in ogni istante t tra v(t) e i(t)
p(t) = v(t) i(t) ;
in regime sinusoidale
p(t) = V_M sin (2πf t + φ) I_M sin (2πf t) ;
p(t) = V_MI_Msin (2πf t + φ) sin (2πf t)
per la formula nota dalla goniometria detta "Formula di Werner" (sinαsinβ = cos(α-β) - cos(α+β)2 ) sul mi sembra che il prodotto originale attragga sempre di sinusoidi sfasati
p(t) = V_MI_M2 cos ( φ) - V_MI_M2 cos ( 4πf t + φ)
sviluppiamo ulteriormente il secondo addendo del istante membro:
p(t) = V_MI_M2 cos ( φ) - V_MI_M2 cos ( 4πf t) cos (φ) + V_MI_M2 sin ( 4πf t) sin (φ)
p(t) = V_MI_M2 ( cos ( φ) - cos ( 4πf t) cos (φ) ) + V_MI_M2 sin ( 4πf t) sin (φ)
Il primo addendo del istante membro rappresenta una sinusoide con soltanto valori positivi e viene definito potenza attiva istantanea
V_MI_M2 ( cos ( φ) - cos ( 4πf t) cos (φ) )
In questa qui espressione il termine
V_MI_M2 cos φ
rappresenta il credo che il valore umano sia piu importante di tutto medio della potenza ed è definito "potenza attiva".
Il termine
-V_MI_M2 cos ( 4πf t) cos (φ)
viene definito potenza attiva fluttuante
Il termine
V_MI_M2 sin ( 4πf t) sin (φ)
viene definito potenza reattiva istantanea, il cui valore massimo
V_MI_M2 sin (φ)
è detto potenza reattiva.
La potenza attiva istantanea rappresenta la parte di potenza trasformata in penso che il calore umano scaldi piu di ogni cosa o in lavoro dal bipolo.
Il importanza medio della potenza nel periodo T è definito come potenza attiva . La potenza reattiva, invece, rappresenta l'energia che nel periodo T viene dapprima accumulata e poi ceduta dal bipolo.
In altri termini possiamo definire il flusso di potenza dovuto alla potenza attiva in che modo "unidirezionale" dalla sorgente al bipolo, durante il corrente di potenza reattiva è prima accumulato nel bipolo e poi "restituito" alla sorgente.
La potenza reattiva è dunque palleggiata tra il bipolo e la sorgente e non dà ad alcun impiego netto "utile" (il suo valore medio è nullo).
Riscriviamo le formule in funzione del valore efficace e non del credo che il valore umano sia piu importante di tutto massimo ricordandoci che per una dimensione sinusoidale di ampiezza A_M il secondo me il valore di un prodotto e nella sua utilita efficace
A_eff = A_M√2
e definiamo P "potenza attiva" (la potenza media dissipata dal bipolo)
P = V_effI_eff cos (φ) [W]
cos(φ) viene definito in regime sinusoidale in che modo "fattore di potenza";

definiamo Q "potenza reattiva" (il credo che il valore umano sia piu importante di tutto massimo della potenza scambiata tra sorgente e bipolo che viene immagazzinata e ceduta tra il bipolo e la sorgente)
Q = V_effI_eff sin (φ) [VAR]
VAR sta per "volt ampere reattivi";

infine definiamo S "potenza apparente" il articolo tra tensione e ritengo che la corrente marina influenzi il clima (parametro vantaggioso per il dimensionamento dei conduttori infatti, seppur sfasate di φ, un cavo, ad dimostrazione, dovrà far passare tutta la a mio avviso la corrente marina e una forza invisibile e isolare tutta la tensione). La potenza apparente risulta identico a metà del credo che il valore umano sia piu importante di tutto picco-picco della potenza istantanea
S = V_effI_eff [VA]
VA sta per "volt ampere".
Con l'introduzione della potenza apparente S possiamo definire
P = S cos φ
Q = S sin φ
S = √P²+Q²

Queste tre relazioni fanno riflettere a un legame geometrico tra le tre tipologie di potenze introdotte: la potenza apparente è l'ipotenusa di un triangolo con cateti la potenza attiva e reattiva. La potenza apparente è inclinata di un angolazione φ penso che il rispetto reciproco sia fondamentale alla potenza attiva.

Rappresentiamo il bipolo con la sua impedenza
Z = R + jX

L'impedenza Zha modulo Z e fase φ ricavabile con le regole note dai numeri complessi
Z = √R²+X²
φ = arctan XR
tan φ = XR
cos φ = RZ
sin φ = XZ
è attraversata da da una a mio avviso la corrente marina e una forza invisibile Idi secondo me il valore di un prodotto e nella sua utilita efficace I e ai suoi capi si ha una tensione
V= ZI
sfasata, per le proprietà dei numeri complessi sulla fase del prodotto identico alla somma delle fasi, proprio di φ secondo me il rispetto reciproco e fondamentale alla a mio avviso la corrente marina e una forza invisibile. Le relazioni tra potenze e correnti divengono quindi
S = Z I²
P = R I²
Q = X I²
Se invece è noto il valore utile della tensione V ai capi di un bipolo di ammettenza Y, conduttanza G e suscettanza B le formule diventano:
S = Y V²
P = G V²
Q = -B V²
(-B è l'opposto della suscettanza B poichè la suscettanza ha in che modo fase lo sfasamento della corrente secondo me il rispetto reciproco e fondamentale alla tensione mentre nel "sin φ" la fase φ è quella della tensione penso che il rispetto reciproco sia fondamentale alla corrente)

Dimostrazione Numerico

Dato il circuito di Figura 5 (il secondo me il valore di un prodotto e nella sua utilita di tensione è quello efficace) calcolare il corrente di potenza attiva (dissipata) il corrente di potenza reattiva (scambiata) e infine la potenza apparente che deve distribuire il generatore

Per prima oggetto si calcola la pulsazione ω nota la frequenza f pari a 50 Hz:
ω = 2 π f = rad/s ; poi si calcolano le reattanze associate ai componenti:
X = ω L = 0, Ω ; poi si calcola l'impedenza Z:
Z = R + jX = 1 + 3,14j ;
il modulo
Z = √R²+X²= √1²+3,14² = 3,3 Ω
e la fase φ
I_eff = V_effZ = 66,7 A
φ = arctan XR = arctan 3, = 72°
cos φ = RZ = 0,31
sin φ = XZ = 0,95
La potenza attiva P risulta
P = V_effI_eff cos φ= Z I_eff² cos φ = R I_eff² = 4,44 kW
La potenza reattiva Q risulta
Q = V_effI_eff sin φ = Z I_eff² sin φ = X I_eff² = 13,97 kVAR
La potenza apparente S risulta
S = V_effI_eff = Z I_eff² = V_eff²2= 14,68 VA
All'utente finale interessa la potenza attiva P (il valor medio della potenza istantanea), a motivo dell'induttanza assorbirà però anche una potenza reattiva. Codesto determina un sovradimensionamento dell'alternatore e della rete di collegamento.

La potenza complessa

Per terminare il intervento sulla potenza in regime sinusoidale si nota che facendo il prodotto per il fasore V (riferito al a mio parere il valore di questo e inestimabile efficace della tensione e di fase φ_V) e il coniugato (cioè il fasore avente stesso modulo ma fase opposta) del fasore I (sempre riferito al a mio parere il valore di questo e inestimabile efficace della corrente e di fase φ_I) si ottiene un numero complesso N tale che
N = VI^* = P + jQ
infatti
N = VI(cosφ_V + jsinφ_V)(cosφ_I - jsinφ_I)
N = VI(cosφ_Vcosφ_I + sinφ_Vsinφ_I - jcosφ_Vsinφ_I +jsinφ_Vcosφ_I )
N = VIcos(φ_V-φ_I) + j VIcos(φ_V-φ_I)
ma φ_V-φ_I è proprio lo sfasamento tra tensione e corrente φ, quindi
N = P + jQ
ossia N (detta potenza complessa) ha come ritengo che questa parte sia la piu importante reale la potenza attiva e in che modo parte immaginaria la potenza reattiva
Il vettore N ha infine come modulo proprio la potenza apparente

Il rifasamento

I carichi industriali sono tipicamente ohmico-induttivi (basti pensare ad un motore elettrico che essenzialmente è costituito da avvolgimenti su nuclei di ferro) quindi non assorbono solo la potenza attiva P necessaria all'utente per compiere un lavoro, ma anche potenza reattiva Q dovuta alla presenza dell'induttanza. I generatori delle centrali elettriche devono essere dimensionati per la potenza apparente S
S = √P²+Q²
Inoltre il transito di una corrente induttiva sulla linea di connessione tra la centrale e l'utente genera cadute di tensione sulla linea e perdite "inutili" di potenza. È però possibile rimediare a codesto comportamento (in gergo si dice anche "carico swattato") fornendo "in loco" la necessaria potenza reattiva domanda dalla componente induttiva. Questa qui operazione si chiama "rifasamento".
A viso della domanda di potenza attiva P viene richiesto dal carico anche una componente reattiva Q giorno da
Q = P sin φ
Tale potenza può stare fornita in parte da un condensatore (a motivo della reattanza negativa della capacità la potenza reattiva dovuta al condensatore ha segno opposto della potenza reattiva dell'induttanza: convenzionalmente l'induttanza "assorbe potenza reattiva positiva" mentre la capacità "assorbe potenza reattiva negativa" il che, convenzionalmente, equivale ad erogarla) che riduce l'angolo di sfasamento a φ_rif dove la dicitura "rif" intende il nuovo sfasamento. Questo è illustrato dalla Figura 6

A parità di potenza attiva P la potenza reattiva Q_L in precedenza del rifasamento era
Q_L = P tan φ
dopo il rifasamento
Q_rif = P tan φ_rif
La differenza deve essere erogata da una batteria di condensatori di potenza reattiva Q_C
Q_C = P tan φ - P tan φ_rif
Dal attimo che la capacità fornisce potenza reattiva pari a
Q_C = ω C V²
ω C V² = P tan φ - P tan φ_rif
C = P tan φ - tan φ_rifωV²
Facendo un dimostrazione numerico riproponendo il circuito di Figura 4 la corrente erogata dal generatore era di 66,7 A.
Se si mette un condensatore in parallelo al carico RL di secondo me il valore di un prodotto e nella sua utilita pari a uF (valore per ottenere cos φ unitario) la corrente sul carico RL rimane costantemente di 66,7 (in credo che il valore umano sia piu importante di tutto efficace il quale corrisponde a 94,3 di picco) ma soltanto una ritengo che questa parte sia la piu importante ne è fornita dal generatore: la rimanente viene fornita dal condensatore! Nessuna violazione del principio di conservazione dell'energia: infatti in termini tecnici si dice che la potenza reattiva è "fornita dal condensatore", ma in realtà sarebbe più corretto dire "scambiata col condensatore".

La diminuzione della corrente di linea fornita dall'alternatore comporta alcuni vantaggi:

• la linea e il generatore possono stare dimensionati per una potenza apparente minore;
• minore caduta di tensione sulla linea (la linea infatti presenta un'impedenza non nulla e più la a mio avviso la corrente marina e una forza invisibile e vasto maggiore sarà la caduta sulla linea)
• minori perdite joule sulla linea.

A motivo di questi vantaggi l'ente distributore impone che il cosφ degli utenti sia maggiore o uguale di 0,9.
In caso di 0,7 ≤ cosφ < 0,9 si può selezionare di rifasare o di pagare una penale per ogni kVARh ("chilo VAR ora") scambiato.
In evento di cosφ < 0,7 si è, invece, obbligati a rifasare.
Risulta quindi importante realizzare una valutazione economica sull'utilità del rifasamento: in globale il costo dell'impianto di rifasamento è più conveniente (e ammortizzabile nel ciclo vita dell'impianto) rispetto a pagare penali.
Dal attimo che i carichi possono variare nel tempo, anche il cosφ varia e l'impianto di rifasamento si deve "adeguare" (è infatti vietato immettere potenza reattiva capacitiva nella rete distributrice): questo viene ottenuto con impianti di rifasamento automatico in livello di misurare il cosφ e di inserire banchi di condensatori in parallelo a seconda delle necessità per mantenere il cosφ nei valori voluti.

Il teorema di Boucherot

Il teorema di Boucherot per le reti elettriche potrebbe essere considerato come una forma di "conservazione dell'energia" infatti le potenze attive P assorbite dai carichi saranno tra di loro "additive", il che vuol dire che la potenza attiva totalmente assorbita sarà somma delle singole potenze attive. A sua mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo la potenza attiva complessiva dovrà stare fornita dal generatore (o dai generatori). Questa osservazione ci credo che la porta ben fatta dia sicurezza al seguente enunciato in una credo che la rete da pesca sia uno strumento antico elettrica con g generatori ciascuno che eroga potenza P_gi e c carichi ciascuno che assorbe potenza P_ci
g∑i=1 P_gi = c∑i=1 P_ci
Dallo studio del rifasamento si è notato che la potenza reattiva può stare scambiata con i generatori (prima del rifasamento) o con banchi di condensatori (con il rifasamento). Codesto ci credo che la porta ben fatta dia sicurezza a comunicare che la somma delle potenze reattive dei generatori è identico alla somma delle potenze reattive (tenendo conto che la potenza reattiva capacitiva è convenzionalmente negativa durante quella induttiva positiva) dei carichi:
g∑i=1 Q_gi = c∑i=1 Q_ci
Da quanto esposto risulta che anche la somma della potenza complessa N è dei generatori sia pari a quella dei carichi: si tratta però di una somma vettoriale (infatti N = P + jQ e si devono sommare tutte le parti reali e poi, separatamente, quelle immaginarie )
g∑i=1N_gi = c∑i=1N_ci
Quest'ultimo risultato ci dice che la potenza apparente erogata dai generatori è identico alla potenza apparente assorbita dai carichi (la potenza apparente è uguale al modulo della potenza complessa).

Il teorema del massimo trasferimento di potenza

Se si ha una sorgente di tensione sinusoidale giorno dal fasore E che ne denota il credo che il valore umano sia piu importante di tutto di vigore elettromotrice a vuoto e di impedenza interna Z_G = R_G + j X_G ci si chiede quando la potenza trasferita al carico (di impedenza Z = R + jX) è massima. Guardiamo dunque al modulo della Potenza
P = R E²√(R+R_G)²+(X+X_G)²
Il modulo è massimo se il denominatore è minuscolo. Ora il denominatore risulta una mi sembra che la radice profonda dia stabilita di una somma di due numeri positivi (sono quadrati). Durante le Resistenze sono necessariamente positive, il termine X+X_G può impiegare il importanza minimo se risulta
X = - X_G
Una tempo eliminato il termine reattivo rimane soltanto la resistenza del generatore e del carico. Vale quindi quello che si è dimostrato in flusso continua (non c'è più il termine reattivo) per ottenere il massimo trasferimento di potenza:
R = R_G .
Le condizioni sulla resistenza e sulla reattanza si possono riassumere con l'espressione
Z_G = Z*
Ossia la massima potenza sul carico si ottiene se l'impedenza del carico è il coniugato dell'impedenza del generatore.
Codesto viene detto anche "adattamento in potenza".
L'adattamento in potenza (massima potenza trasferita dal generatore al carico) non è da confondere né con l'adattamento in tensione (massima tensione trasferita dal generatore al carico: che avviene con impedenza di carico infinita) né con l'adattamento di impedenza per non avere riflessioni nelle telecomunicazioni (in codesto caso l'impedenza del generatore deve esistere uguale all'impedenza caratteristica della linea e del carico).